TEOREMI DI TRIGONOMETRIA

Triangoli rettangoli (a: ipotenusa)

–  un cateto è uguale al prodotto tra ipotenusa e seno dell’angolo opposto; b=a*senB

–  un cateto è uguale al prodotto tra ipotenusa e coseno dell’angolo adiacente; b=a*cosC

–  un cateto è uguale al prodotto tra l’altro cateto e la tangente dell’angolo opposto al primo; b=c*tanB

–  un cateto è uguale al prodotto tra l’altro cateto e la cotangente dell’angolo adiacente al primo; b=c*cotC

Triangoli qualsiasi

–  teorema dei seni: il rapporto tra lato e se

–  no dell’angolo opposto è costante e vale quanto il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo (utilizzo: dati un lato, l’angolo opposto ad esso e almeno un altro angolo; oppure dati il diametro e o il lato o l’angolo ad esso opposto);

  a:senA=b:senB=c:senC=2r

–  teorema del coseno: il quadrato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due diminuita del loro doppio prodotto moltiplicato per il coseno dell’angolo opposto al primo lato (utilizzo: dati due lati e l’angolo fra essi compreso); a2=b2+c2-2cb(cosA)

–  teorema dell’area: l’area è uguale al semiprodotto di due lati e l’angolo fra essi compreso (utilizzo: dati due lati e l’angolo fra essi compreso, utile per trovare le altezze o il terzo lato se è data l’altezza relativa ad esso); Area=(b*c*senA):2

–  teorema della corda: una corda qualsiasi è uguale al prodotto tra il diametro e il seno dell’angolo alla circonferenza che insiste sulla corda data (utilizzo: dati il diametro della circonferenza circoscritta e l’angolo); AB=2r*senC

RELAZIONI e TEOREMI DI GEOMETRIA

Triangoli rettangoli

–  teorema di Pitagora: il quadrato dellipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti; a2=b2+c2

–  I teorema di Euclide: il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sullipotenusa e lipotenusa stessa; b2=BH*a

–  II teorema di Euclide: il quadrato costruito sull’altezza è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sullipotenusa; h2=BH*CH

Angoli al centro e angoli alla circonferenza

–  su uno stesso arco (o corda) insiste un solo angolo al centro;

–  su uno stesso arco o corda insistono infiniti angoli alla circonferenza tutti uguali;

–  un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco (o corda);

–  tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul diametro sono retti;

–  un angolo alla circonferenza è sempre minore di 180°.

Triangoli qualsiasi

–  mediana: è il segmento condotto da un vertice al punto medio del lato opposto; il punto dincontro delle mediane divide ciascuna in due parti l’una il doppio dell’altra;

–  asse: è la retta perpendicolare passante per il punto medio di un lato; il punto dincontro degli assi è il circocentro; esso è equidistante da tutti i vertici del triangolo ed è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo;

–  altezza: è il segmento condotto perpendicolarmente da un vertice al lato opposto; il punto di incontro delle altezze si chiamo ortocentro;

–  bisettrice: è la retta che divide a metà un angolo; il punto dincontro delle bisettrici si chiama incentro ed esso corrisponde al centro della circonferenza inscritta nel triangolo;

Triangoli particolari

–  triangolo rettangolo 30°-60°: è la metà di un triangolo equilatero; il cateto minore è la metà dellipotenusa, quello maggiore è uguale al prodotto tra lipotenusa e radice di tre fratto due (che è poi il seno di 60°);

–  triangolo rettangolo 45°: è la metà di un quadrato; lipotenusa è uguale al cateto moltiplicato per radice di due.

TIPOLOGIE DI EQUAZIONI

Equazioni omogenee

–  equazione elementare: (una incognita, primo grado, con termine noto) la funzione goniometrica è eguagliata ad un numero; senx=n

–  equazione di secondo grado ad una incognita: si risolve come una normale eq. di secondo grado (R: per prima cosa vedere se c’è o meno il termine noto); (a)sen2x+(b)senx+c=0

–  equazione lineare: (due incognite, primo grado, con termine noto) si risolve utilizzando le formule parametriche oppure col metodo grafico (si costruisce il grafico del primo membro e poi una circonferenza con centro nell’origine di raggio pari al termine noto); asenx+bcosx=n

–  equazione omogenea di secondo grado: (due incognite, con termine noto) per prima cosa bisogna moltiplicare il termine noto per (sen2x+cos2x), poi dividere per cos2x e risolvere lequazione di secondo grado ad una incognita in tanx; (a)sen2x+(b)cos2x+(c)senxcosx=n

Equazioni non omogenee

–  se compaiono due angoli x e 2x bisogna: a)trasformare 2x in x applicando le formule di duplicazione, b)trasformare x in 2x applicando le formule di bisezione (il secondo metodo è conveniente il termine da trasformare è al quadrato);

–  se compaiono due angoli x e (x+n): bisogna risolvere l’angolo (x+n) con le formule di addizione e sottrazione, poi trasformare le f.g. di n in valori.

di Alice