OPERAZIONITRA INSIEMI1

Intersezione

Si definisce intersezione tra due insiemi l’insieme degli elementi che appartengo ad entrambi gli  insiemi dati (gli elementi comuni). Dati ad esempio i due insiemi A = {0,1,2,3,4} e  B = {0,2,4,6}, l’intersezione tra A e B è data dal seguente insieme:

   A É B = {2, 4}

Il simbolo É è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere A intersecato B” oppure A e B“. Infatti la congiunzione caratterizza, dal punto di vista del linguaggio, l’intersezione. Illuminante a tal proposito è la rappresentazione intensiva dell’insieme intersezione:

   A É B = {x ½x É A e x É B}

E la rappresentazione con i diagrammi, dove l’intersezione è la parte colorata:

Per l’intersezione valgono le seguenti proprietà, dove per A, B e C si intendono insiemi qualsiasi:

    A É A = A   proprietà di idempotenza2 

   A É B = B É A   proprietà commutativa3 

   A É (B É C) = (A É B) É C  proprietà associativa4 

   A É í+ = í+   elemento assorbente5 

   A É U = A    elemento neutro6

Inoltre, se A Á B, allora A É B = A. Questo risulta evidente con il diagramma:

   A

    B

Vediamo adesso una applicazione delle operazioni di unione e intersezione. Ci proponiamo di determinare, per via insiemistica, il massimo comun divisore (MCD7 ) ed il minimo comune multiplo  (mcm8 ) dei numeri 12, 18 e 24. A tale scopo costruiamo gli insiemi formati dai divisori dei tre numeri:

  D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}  D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}  D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

e determiniamo l’intersezione dei tre insiemi: 

   D = {1, 2, 3}.

Il MCD è chiaramente l’elemento massimo di tale insieme, cioè 3.

Costruiamo adesso gli insiemi formati da multipli dei tre numeri:

   M12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 108, 120, 132, 144, .} 

  M18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180,}

  M24 = {24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, }

e, come in precedenza, l’intersezione dei tre insiemi:

   M = {72,  144, .}

Il mcm dei tre numeri è l’elemento minimo di tale insieme, cioè 72.

Note:

1. Per operazione binaria intendiamo una legge di composizione tra due elementi che fornisce come risutato un terzo elemento della stessa natura.

2. Come per i numeri 1 e 0 nella moltiplicazione

3. Come la moltiplicazione

4. Come la moltiplicazione

5. Ricorda il numero 0 nella moltiplicazione

6. Ricorda il numero 1 nella moltiplicazione

7. Il massimo comun divisore fra due o più numeri è il più grande fra tutti i divisori comuni ai numeri dati.

8. Il minimo comune multiplo fra due o più numeri è il più piccolo fra tutti i multipli comuni ai numeri dati.