Esami di Stato 2001

2001 – LIceo Scientifico

Seconda prova

Matematica

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

PROBLEMA 1.

Si consideri la seguente relazione tra le variabili reali x, y:

,

dove a è un parametro reale positivo.

a)  Esprimere y in funzione di x e studiare la funzione così ottenuta, disegnandone il grafico in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy).

b)  Determinare per quali valori di a la curva disegnata risulta tangente o secante alla retta t di equazione x+y=4.

c)  Scrivere lequazione della circonferenza k che ha il centro nel punto di coordinate (1,1) e intercetta sulla retta t una corda di lunghezza 2.

d)  Calcolare le aree delle due regioni finite di piano in cui il cerchio delimitato da k è diviso dalla retta t.

e)  Determinare per quale valore del parametro a il grafico, di cui al precedente punto a), risulta tangente alla circonferenza k.

PROBLEMA 2.

Considerato un qualunque triangolo ABC, siano D ed E due punti interni al lato BC tali che:

.

Siano poi M ed N i punti medi rispettivamente dei segmenti AD ed AE.

a)  Dimostrare che il quadrilatero DENM è la quarta parte del triangolo ABC.

b)  Ammesso che l’area del quadrilatero DENM sia , dove a è una lunghezza assegnata, e ammesso che l’angolo AC sia acuto e si abbia inoltre: verificare che tale quadrilatero risulta essere un trapezio rettangolo.

c)  Dopo aver riferito il piano della figura, di cui al precedente punto b), ad un conveniente sistema di assi cartesiani, trovare lequazione della parabola, avente lasse perpendicolare alla retta BC e passante per i punti M, N, C.

d)  Calcolare, infine, le aree delle regioni in cui tale parabola divide il triangolo ADC.

QUESTIONARIO.

1.  Indicata con f(x) una funzione reale di variabile reale, si sa che f(x) ® l per x ® a, essendo l ed a numeri reali. Dire se ciò è sufficiente per concludere che f(a) = l e fornire unesauriente spiegazione della risposta.

2.  Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, continua nel campo reale, tale che f(0)=2. Calcolare:

,

dove e è la base dei logaritmi naturali.

3.  Si consideri il cubo di spigoli AA, BB, CC, DD, in cui due facce opposte sono i quadrati ABCD e ABCD. Sia E il punto medio dello spigolo AB. I piani ACCA e DDE dividono il cubo in quattro parti. Dimostrare che la parte più estesa è il quintuplo di quella meno estesa.

4.  Un tronco di piramide ha basi di aree B e b ed altezza h. Dimostrare, col metodo preferito, che il suo volume V è espresso dalla seguente formula:

.

In ogni caso esplicitare ciò che si ammette ai fini della dimostrazione.

5.  Sia f(x) una funzione reale di variabile reale, derivabile in un intervallo [a,b] e tale che, per ogni x di tale intervallo, risulti f (x) = 0. Dimostrare che f(x) è costante in quellintervallo.

6.  Dimostrare che si ha:

dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0 .

7.  Fra i triangoli inscritti in un semicerchio quello isoscele ha:

a)  area massima e perimetro massimo;

b)  area massima e perimetro minimo;

c)  area minima e perimetro massimo;

d)  area minima e perimetro minimo.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne unesauriente spiegazione.

8.  Considerata la funzione:

f(x) = a x3 + 2 a x2 – 3 x ,

dove a è un parametro reale non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.

9.  Il limite della funzione , quando x tende a +¥,

a)  è uguale a 0;

b)  è uguale ad 1;

c)  è un valore diverso dai due precedenti;

d)  non è determinato.

Una sola risposta è corretta: individuarla e darne unesauriente spiegazione.

10. Si consideri la funzione . Stabilire se si può calcolarne il limite per x®+¥ e spiegare se il calcolo può essere effettuato ricorrendo al teorema di De LHôpital.

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Durata massima della prova: 6 ore.

E’ consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.