Prova di Matematica Esame di stato Liceo Scientifico 2003

– 2003

CORSO DI ORDINAMENTO

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.

PROBLEMA 1
Si consideri un tetraedro regolare T di vertici A, B, C, D.

1. Indicati rispettivamente con V ed S il volume e l’area totale di T e con r il raggio della sfera inscritta in T, trovare una relazione che leghi V, S ed r.
2. Considerato il tetraedro regolare T’ avente per vertici i centri delle facce di T, calcolare il rapporto fra le lunghezze degli spigoli di T e T’ e il rapporto fra i volumi di T e T’.
3. Condotto il piano a, contenente la retta AB e perpendicolare alla retta CD nel punto E, e posto che uno spigolo di T sia lungo s, calcolare la distanza di E dalla retta AB.
4. Considerata nel piano a la parabola p avente l’asse perpendicolare alla retta AB e passante per i punti A, B ed E, riferire questo piano ad un conveniente sistema di assi cartesiani ortogonali e trovare l’equazione di p.
5. e) Determinare per quale valore di s la regione piana delimitata dalla parabola p e dalla retta EA ha area
   

PROBLEMA 2

E’ assegnata la funzione

dove m è un parametro reale.

1. Determinare il suo dominio di derivabilità.
2. Calcolare per quale valore di m la funzione ammette una derivata che risulti nulla per x = 1.

Studiare la funzione f(x) corrispondente al valore di m così trovato e disegnarne il grafico g in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), dopo aver stabilito quanti sono esattamente i flessi di g ed aver fornito una spiegazione esauriente di ciò.

Calcolare l’area della regione finita di piano delimitata dal grafico g, dall’asse x e dalla retta di equazione x = 1.

QUESTIONARIO

1. Dopo aver fornito la definizione di “rette sghembe”, si consideri la seguente proposizione: “Comunque si prendano nello spazio tre rette x, y, z, due a due distinte, se x ed y sono sghembe e, così pure, se sono sghembe y e z allora anche x e z sono sghembe”. Dire se è vera o falsa e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
2. Un piano interseca tutti gli spigoli laterali di una piramide quadrangolare regolare: descrivere le caratteristiche dei possibili quadrilateri sezione a seconda della posizione del piano rispetto alla piramide.
3. Dal punto A, al quale è possibile accedere, è visibile il punto B, al quale però non si può accedere in alcun modo, così da impedire una misura diretta della distanza AB. Dal punto A si può però accedere al punto P, dal quale, oltre ad A, è visibile B in modo che, pur rimanendo impossibile misurare direttamente la distanza PB, è tuttavia possibile misurare la distanza AP. Disponendo degli strumenti di misura necessari e sapendo che P non è allineato con A e B, spiegare come si può utilizzare il teorema dei seni per calcolare la distanza AB.

Il dominio della funzione



è l’insieme degli x reali tali che:



Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una esauriente spiegazione della scelta effettuata.

1. La funzione
   

   ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse. Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.

2. La derivata della funzione
   

   è la funzione

   

   . Eseguire tutti i passaggi necessari a giustificare l’affermazione.

3. Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1:

   1, 2, 3, , n-1, n ,

   moltiplicarli combinandoli due a due in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta uguale a:

   

   Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

4. x ed y sono due numeri naturali dispari tali che x – y = 2. Il numero
   
   1. è divisibile per 2 e per 3.
   2. è divisibile per 2 ma non per 3.
   3. è divisibile per 3 ma non per 2.
   4. non è divisibile né per 2 né per 3.

   Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

5. Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto. Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.
6. Il valore dell’espressione
   

   è 1. Dire se questa affermazione è vera o falsa e fornire una esauriente spiegazione della risposta.

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   Durata massima della prova: 6 ore.
   E’ consentito soltanto l’uso di calcolatrici non programmabili.
   Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.