MATEMATICA

ESAMI DI MATURITÀ SCIENTIFICA 1998

Tema di:

Il candidato scelga a suo piacimento due dei seguenti problemi e li risolva:

1. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), sono assegnate le curve di equazione:

dove a, b sono parametri reali con a¹0.

a) Determinare i valori di a per i quali queste curve hanno un punto di massimo ed uno di minimo relativi e quelli per i quali non ammettono tali punti.

b) Calcolare i valori di a e b in modo che la curva g corrispondente abbia un massimo relativo uguale a 0 e sechi lasse x nel punto di ascissa –.

c) Controllato che la curva g si ottiene per , disegnarne l’andamento.

d)   Calcolare l’area della regione piana delimitata dalla curva g e dall’asse x.

2. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oxy), è assegnata la curva C di equazione:

.

a) Studiarla e disegnarne l’andamento, indicando con A e B i punti in cui la curva seca lasse x (xA > xB).

b) Trovare lequazione della circonferenza C tangente a C in A e passante per B.

c) Disegnare C sullo stesso piano di C dopo aver determinato il raggio e il centro di C e inoltre le coordinate dell’ulteriore punto in cui C seca C.

d)   Determinare l’angolo sotto cui C e C si secano in B.

e) Calcolare le aree delle regioni in cui C divide il cerchio delimitato da C.

3. Un cateto di un triangolo rettangolo è lungo 2a, dove a è una lunghezza nota, e l’angolo acuto adiacente ad esso ha coseno uguale a .

a) Condotta per il vertice dell’angolo retto una retta t che non attraversa il triangolo e indicata con x la misura dell’angolo che questa retta forma col cateto maggiore, esprimere in funzione di x il volume V(x) del solido generato dal triangolo quando compie una rotazione completa intorno alla retta t.

b) Verificato che risulta:

con x appartenente ad un determinato intervallo, studiare la funzione V(x) nellintervallo stabilito e disegnarne il grafico in un piano cartesiano.

c) Utilizzare il grafico disegnato per determinare x in modo che il volume del solido di rotazione descritto sopra sia kpa3, dove k è un parametro reale assegnato.

d)   Completare la risoluzione dimostrando, col metodo preferito, che il volume V di un tronco di cono di raggi R ed r ed altezza h è espresso dalla seguente formula: