OPERAZIONI TRA INSIEMI1 

Differenza

Si definisce differenza tra due insiemi l’insieme degli elementi che appartengono al primo insieme ma non al secondo. Per i soliti insiemi A = {0,1,2,3,4} e  B = {0,2,4,6}, si ha:

    A – B = {1, 3}

La differenza insiemistica si ottiene quindi togliendo dal primo insieme gli elementi che esso ha in comune con il secondo. Il fatto che vengano fissati un primo ed un secondo insieme ci suggerisce che la differenza non è una operazione commutativa; cioè, in generale:

   A – B ¹ B – A

La su rappresentazione intensiva è:

   A – B = {x ½x É A e x Á B}

 Con i diagrammi, l’insieme A – B è disegnato in rosso, mentre l’insieme B – A è colorato in giallo:

La differenza tra due insiemi è riconducibile alla nota differenza tra numeri, e non gode, quindi, delle note proprietà delle operazioni. Vediamo qui solo alcune situazioni particolari:

A Á B  É  A – B = í+

A É B = í+  É  B – A = B  e  A – B = A

A – í+ = A

A – A = í+

Differenza simmetrica

Si definisce differenza simmetrica tra due insiemi l’insieme degli elementi che appartengono ad uno solo dei due insiemi dati. Per gli insiemi A = {0,1,2,3,4} e  B = {0,2,4,6}, si ha:

   A D B = {1, 3, 6} 

Questa operazione è chiaramente commutativa. La sua rappresentazione intensiva è:

   A D B = {x ½x É A o2  x É B}

Ed è simile quindi all’unione, tranne che per il significato della particella o“. Con i diagrammi, la differenza simmetrica è rappresentata, come al solito, con la parte colorata:

Note:

1 Per operazione binaria intendiamo una legge di composizione tra due elementi che fornisce come risutato un terzo elemento della stessa natura.

2 La particella o” corrisponde qui al latino aut“.