OPERAZIONI TRA INSIEMI1 

Unione

Si definisce unione tra due insiemi l’insieme degli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi dati. Per gli insiemi precedenti  A = {0, 1, 2, 3, 4} e  B = {0, 2, 4, 6}, l’unione tra A e B è data dal seguente insieme:

   A E’ B = {0, 1, 2, 3, 4, 6}

Il simbolo E’ è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere A unito B” oppure A o2  B“. Infatti la disgiunzione3  caratterizza, come conferma la rappresentazione intensiva dell’insieme intersezione:

   A E’ B = {x ½x É A o x É B}

La rappresentazione con i diagrammi, dove l’unione è la parte colorata, è la seguente:

Per l’unione valgono le seguenti proprietà, dove per A, B e C si intendono insiemi qualsiasi:

    A E’ A = A   proprietà di idempotenza4 

    A E’ B = B E’ A   proprietà commutativa5 

   A E’ (B E’ C) = (A E’ B) E’C  proprietà associativa6 

    A E’ í+ = A   elemento neutro7

   A E’ U =  U   

Inoltre, se A Á B, allora A E’ B = B. Questo risulta evidente con il diagramma:

   A

    B

Valgono inoltre seguenti proprietà:

   A E’ (B  É C) = (A E’ B) É (A E’ C)  proprietà distributiva

   A É (B  E’ C) = (A É B) E’ (A É C)  proprietà distributiva

    A É (A  E’ B) = A   proprietà di assorbimento

   A E’ (A  É B) = A   proprietà di assorbimento

Se si confrontano le proprietà viste per l’intersezione con quelle viste per l’unione, nonché le due proprietà distributive che in un certo senso legano le due operazioni, si vede che è possibile ottenere le une dalle altre semplicemente scambiando i simboli É con E’ e í+ con U. Questa è nota come proprietà duale degli insiemi.

Note:

1. Per operazione binaria intendiamo una legge di composizione tra due elementi che fornisce come risutato un terzo elemento della stessa natura.

2. La particella o“ qui usata corrisponde al latino vel“.

3. Ci si riferisce qui alla disgiunzione inclusiva.

4. Come per il numero 0 nelladdizione

5. Come la addizione

6. Come la addizione

7. Come per lo 0 nelladdizione