RELAZIONI

I sottoinsiemi

La relazione più importante tra due insiemi è sicuramente quella di sottoinsieme. Si dice che l’insieme A è sottoinsieme dell’insieme B (o parte di B, oppure A è incluso in B) se e solo se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

Per indicare questo si utilizzano i due simboli noti appunto come simboli di inclusione:

   A Á B

   A íOE B

Fra i due simboli esiste ovviamente una differenza, che vedremo fra poco.

Con la rappresentazione mediante i diagrammi, la situazione sarebbe la seguente:

   B

   A 

Dalla definizione si evince che, qualunque sia l’insieme A:

   í+  Á  A

   A  Á  U

    A  Á  A

Quindi, fra i possibili sottoinsiemi di un insieme dato, vanno considerati sempre l’insieme vuoto e l’insieme stesso. Questi ultimi due sono detti sottoinsiemi impropri, per distinguerli dagli altri ordinari sottoinsiemi che vengono detti sottoinsiemi propri. Per indicare i sottoinsiemi impropri si può usare solo il simbolo Á, mentre per i sottoinsiemi propri si possono usare ambedue i simboli di inclusione. Riepilogando, la scrittura  X  Á  A  indica che X può essere sottoinsieme proprio oppure improprio di A, mentre la scrittura  X  íOE  A  indica che X è sottoinsieme proprio di A (cioè diverso da A stesso e dall’insieme vuoto.

Per quanto riguarda le relazioni intercorrenti fra gli insiemi numerici finora conosciuti, valgono le seguenti relazioni

   N  íOE  Z  íOE  Q

ed il seguente diagramma che illustra efficacemente la situazione:

   Q

    Z

    N 

L’insieme delle parti

Consideriamo adesso l’insieme  A = {a, b, c} e proviamo a costruire tutti i suoi possibili sottoinsiemi:

A1 = {a}   A2 = {b}  A3 = {c}  A4 = {a, b} 

A5 = {a, c}  A6 = {b,c}  A7  =  í+  A8 = A  

Dato che nessuno vieta di costruire insiemi di insiemi, cioè insiemi i cui elementi sono essi stessi insiemi, costruiamo un nuovo insieme avente come elementi  proprio i sottoinsiemi trovati:

   â,,(TM)(A) = {A1, A2,A3, A4, A5, A6, A7, A8} 

L insieme â,,(TM)(A) è chiamato insieme delle parti di A, ed è l’insieme costituito, appunto, da tutti i possibili sottoinsiemi (propri ed impropri) di un insieme dato.

Da notare che, rispetto a â,,(TM)(A), i sottoinsiemi cambiano ruolo e diventano elementi, mentre gli elementi di A non compaiono assolutamente in â,,(TM)(A). Pertanto, mentre le scritture 

   A5 íOE  A  a É A  A5 É â,,(TM)(A) 

sono corrette, non lo sono invece le scritture

   A5 É  A  a É  â,,(TM)(A  A5 íOE â,,(TM)(A) 

Il fatto che il numero dei sottoinsiemi di A, e quindi il numero di elementi del suo insieme delle parti sia otto, non è casuale; infatti 8 = 23. Questo è generale:

dato un insieme con n  elementi il numero dei suoi sottoinsiemi è 2n .