Tema di MATEMATICA

M548 – ESAMI DI MATURITÀ MAGISTRALE 1997

Il candidato risolva le seguenti questioni.

1. Da un punto P esterno ad un piano SYMBOL 97 f “Symbol” si conduca la perpendicolare PA al piano e la perpendicolare PH ad una qualsiasi retta r del piano non passante per A, essendo H ed A punti del piano SYMBOL 97 f “Symbol”.

a)  Dimostrare che la retta AH è perpendicolare alla retta r.

b)  Considerati sulla retta r due punti distinti B e C tali che , dimostrare che il triangolo ABC è rettangolo.

c)  Sapendo che , dove a è una lunghezza nota, e che il piano dei punti P, B, C forma un angolo di 30° col piano SYMBOL 97 f “Symbol”, determinare la distanza del punto A dal piano dei punti P, B, C e la distanza del punto B dal piano dei punti P, A, C.

d)  Stabilire se la piramide avente come vertice il punto A e come base il triangolo PBC è retta.

2. Dopo aver preso in esame i seguenti enunciati, stabilire di ciascuno se è vero o falso e fornire un’esauriente motivazione della risposta:

a)  Se a, b sono numeri reali positivi qualsiasi, risulta:

.

b)  Due numeri dispari consecutivi, comunque presi nell’insieme dei numeri naturali, sono primi fra loro.

c)  Condizione necessaria e sufficiente affinché il numero ab sia divisibile per c è che a oppure b siano divisibili per c (a, b, c sono numeri naturali).

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Durata massima della prova: 4 ore.

E’ consentito l’uso della calcolatrice tascabile non programmabile.

Non è consentito lasciare l’Istituto prima che siano trascorse 3 ore dalla dettatura del tema.