Triangoli

Problematiquiz di Giuseppe Cotruvo

Primo quiz

[Domanda tratta dal database della Facoltà di Farmacia dell’Università degli Studi Magna Grecia” di Catanzaro (ma anche delle Università degli Studi di Bologna, Chieti, etc.)]

La somma algebrica degli angoli interni di un triangolo è:

a)  90°

b)  180°

c)  3000

d)  280°

e)  quesito senza soluzione univoca o corretta

Secondo quiz

[Domanda tratta dai quesiti per la prova preselettiva del concorso a 397 posti di Educatore – area C, posizione economica C1 – Ministero della Giustizia – Dipartimento dellAmministrazione Penitenziaria (pubblicato nella G.U. n. 30 del 16 aprile 2004 – 4a serie speciale)]

Quando un triangolo si dice isoscele?

a)  quando ha tre angoli diversi

b)  quando è inscritto in una circonferenza

c)  quando ha due lati congruenti

d)  quando ha tre lati diversi

Terzo quiz

Un triangolo ha i lati che misurano rispettivamente 25 cm, 51 cm e 52 cm. Quanto misura la sua area?

a)  128 cm2

b)  6,24 m2

c)  1,28 m2

d)  624 cm2

e)  non conoscendo la misura dell’altezza del triangolo non è possibile calcolarne l’area

Quarto quiz

[Domanda tratta dal test di ammissione al Corso di Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale, Università degli Studi di Bari, anno accademico 2002/2003]

Con 3 segmenti di misura rispettivamente cm 2, cm 4 e cm 2:

a)  si può ottenere un triangolo rettangolo

b)  si può ottenere un triangolo scaleno

c)  si può ottenere un triangolo ottusangolo

d)  nessuna delle precedenti affermazioni è corretta

Quinto quiz

[Domanda tratta dal materiale testologico della prova preliminare del concorso per il reclutamento di 194 allievi finanzieri per l’anno 2005]

In un triangolo rettangolo il cateto maggiore misura 36 dm. Pertanto:

a)  è possibile calcolare solo la misura del cateto minore

b)  non è possibile calcolare né la misura dellipotenusa, né la misura del cateto minore

c)  è possibile calcolare solo la misura dellipotenusa

d)  è possibile calcolare la misura dellipotenusa e del cateto minore

Sesto quiz

[Domanda tratta dai giochi di Archimede – Gara del biennio del 1/12/1998 (Progetto Olimpiadi della Matematica – U.M.I. – Scuola Normale Superiore)]

Quanti triangoli equilateri sono presenti in questa figura?

a)  16

b)  20

c)  25

d)  26

e)  27

Settimo quiz

[Domanda tratta dai quesiti per la prova preselettiva del concorso a 39 posti di Psicologo – area C, posizione economica C1 – Ministero della Giustizia – Dipartimento dellAmministrazione Penitenziaria (pubblicato nella G.U. n. 30 del 16 aprile 2004 – 4a serie speciale)]

Come possono essere gli angoli interni in un triangolo rettangolo?

a)  120°, 30° e 30°

b)  90°, 30° e 30°

c)  90°, 70° e 40°

d)  90°, 30° e 60°

Ottavo quiz

[Domanda tratta dalla prova di ammissione della Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali. Università degli Studi di Salerno, anno accademico 2004/2005]

Un triangolo equilatero ha altezza lunga 2 cm. Il suo perimetro è:

a)  i dati del problema non sono sufficienti per determinarlo

b)  4 cm

c)  cm

d)  cm

e)  6 cm

Nono quiz

[Domanda tratta dai quesiti per la prova preselettiva del concorso a 36 posti di Collaboratore – area C, posizione economica C1 – Ministero della Giustizia – Dipartimento dellAmministrazione Penitenziaria (pubblicato nella G.U. n. 30 del 16 aprile 2004 – 4a serie speciale)]

Che cos’è lortocentro?

a)  il punto di incontro degli assi relativi ai tre lati di un triangolo e il centro della circonferenza ad esso circoscritta

b)  il punto di incontro delle altezze relative ai tre lati di un triangolo

c)  il punto di incontro delle mediane relative ai tre lati di un triangolo

d)  il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo e il centro della circonferenza in esso inscritta

Decimo quiz

[Domanda tratta dall’elenco dei quesiti preliminari del concorso pubblico per esame per la nomina di 500 allievi agenti del Corpo Forestale dello Stato, indetto nel luglio del 2004]

La base e l’altezza di un triangolo misurano rispettivamente 12 cm e 20 cm.

La misura dell’area è:

a)  16 cm2

b)  60 cm2

c)  120 cm2

d)  60 cm

Undicesimo quiz

[Domanda tratta dal test di accesso al Corso di Laurea in Lettere e Scienze dei Beni Culturali, anno accademico 2005/2006, Università degli Studi di Salerno]

Far quadrare il triangolo”. Questa frase indica

a)  la celebre operazione geometricomatematica di Laforgue

b)  un goffo errore al posto della frase fatta far quadrare il cerchio”

c)  lutopistico obiettivo della ricerca alchemica

Dodicesimo quiz

Domanda tratta dalla Gara del 18 marzo 2004 del Kangourou Italia, Categoria Benjamin (per studenti di prima o seconda media)

Osserva la figura. Quanto vale il rapporto fra l’area della superficie lasciata in bianco e l’area della superficie ombreggiata?

a)  1:4

b)  1:5

c)  1:6

d)  2:5

e)  2:7

Tredicesimo quiz

[Domanda tratta dal test di ammissione al Corso di Laurea in Architettura, Politecnico di Torino, anno accademico 1999/2000]

Nel triangolo in figura sono indicate le mediane relative ai dati AB e CB, che si intersecano nel baricentro O del triangolo. Assumendo che l’area del triangolo ABC valga 1, stabilire quanto vale l’area del triangolo COD

a)  1/4;

b)  1/6;

c)  1/8;

d)  1/12;

e)  Nessuno dei valori indicati.

Quattordicesimo quiz

[Domanda tratta dalla prova di ammissione al Corso di Laurea in Medicina Veterinaria, anno accademico 1999/2000]

Un triangolo rettangolo è anche isoscele. La sua ipotenusa è lunga 1 m. Quanto vale l’area del triangolo?

a)  2 m2

b)  1 m2

c)  m2

d)  m2

e)  m2 

Quindicesimo quiz

[Domanda tratta dal concorso di iscrizione al 1° anno del Corso di Laurea Specialistica in Architettura Facoltà di Architettura Politecnico di Bari, anno accademico 2004/ 2005 (XV)]

Considerati tre segmenti di differente lunghezza: quale terna di numeri assicura la creazione di un triangolo rettangolo?

a)  3 6 – 9

b)  1 2 – 3

c)  3 4 – 5

d)  2 4 – 6

e)  1 – 1,5 – 3

Soluzioni commentate

Primo quiz

La risposta corretta è la b. Qualunque sia il tipo di triangolo considerato, si può dimostrare che la somma dei suoi 3 angoli interni è uguale a 180°.

Secondo quiz

La risposta corretta è la c. Si definisce isoscele un triangolo che ha 2 lati (oppure 2 angoli) congruenti.

Terzo quiz

La risposta corretta è la d. La formula più utilizzata per la misura dell’area di un triangolo è la celeberrima . Ci sono dei casi, però, in cui il problema non fornisce la misura delle altezze del triangolo, né suggerisce come calcolarle: è evidente che in tali situazioni non sia possibile utilizzare la formula precedentemente citata. Se il problema vi fornisce, però, le misure dei 3 lati del triangolo, potrete comunque calcolarne l’area applicando la formula di Erone, secondo la quale l’area di un triangolo è uguale alla radice quadrata del prodotto tra il semiperimetro, il semiperimetro meno il primo lato, il semiperimetro meno il secondo lato e il semiperimetro meno il terzo lato (in simboli, indicando i 3 lati del triangolo con le lettere a, b e c e il semiperimetro con la lettera p si ha:

; il semiperimetro si calcola sommando la misura dei 3 lati e dividendo il risultato per 2, ovvero ).

La traccia di questo esercizio fornisce la misura dei 3 lati del triangolo (25 cm, 51 cm e 52 cm): per questo motivo, pur non conoscendo nessuna delle 3 altezze, potrete comunque determinarne l’area applicando la formula di Erone e procedendo come mostrato di seguito.

;

=

.

Quarto quiz

La risposta corretta è la d. Secondo un vecchio” teorema di geometria euclidea, un triangolo, di qualunque tipo esso sia, esiste quando OGNI LATO ha lunghezza minore della somma degli altri due lati. Uno dei 3 segmenti forniti dal problema, ovvero quello di 4 cm, NON HA LUNGHEZZA INFERIORE rispetto alla somma degli altri due lati (4 non è minore di 2+2, bensì è uguale a 2+2).

Quinto quiz

La risposta corretta è la b. Per poter calcolare la misura dei lati di un triangolo rettangolo è necessario conoscere almeno la lunghezza di due dei 3 lati. In questo modo, applicando il teorema di Pitagora, verrà determinata la lunghezza del terzo lato (cateto o ipotenusa che sia). La conoscenza della misura di un solo lato potrebbe risultare utile, per chi ha studiato la trigonometria, a patto di conoscere l’ampiezza degli angoli acuti del triangolo assegnato. In questo caso il problema non fornisce nemmeno l’ampiezza degli angoli.

Sesto quiz

La risposta corretta è la e. Sono presenti 16 triangoli di lato 1″, 7 di lato 2″, 3 di lato 3″ e 1 di lato 4″. Nelle immagini seguenti sono indicati tutti quanti.

Settimo quiz

La risposta corretta è la d. Guardando le opzioni proposte, si potrebbe immediatamente scartare la a”, perché non contempla l’angolo di 90° (un triangolo rettangolo, senza l’angolo retto, che triangolo rettangolo sarebbe?!?). Come detto in precedenza, poi, la somma degli angoli interni di un triangolo, qualunque esso sia, deve essere uguale a 180°, altrimenti non sarebbe un triangolo. Analizzando le opzioni b, c e d, l’unica tripletta di angoli compatibile con un triangolo è la d” (gli angoli della b” danno come somma, invece, 150° (90°+30°+30°=150°), gli angoli della c” danno come somma 200° (90°+70°+40°=200°)).

Ottavo quiz

La risposta corretta è la c. Per risolvere questo quiz è necessario applicare la formula in cui compaiono l’altezza e il lato del triangolo equilatero, ovvero .

Sostituendo nella formula il valore dell’altezza suggerito dal problema (ovvero 2 cm) otterreste:

;

Svolgendo il minimo comune multiplo, otterreste:

A questo punto si potrebbe elidere il minimo comune multiplo, come mostrato di seguito.

Non vi resta che isolare il lato”, dividendo primo e secondo membro per :

Il lato del triangolo equilatero, quindi, è uguale a ; quando al denominatore di una frazione compare una radice, come in questo caso, è necessario razionalizzare la frazione, ovvero moltiplicare numeratore e denominatore della frazione per la radice presente:

.

Conoscendo la misura del lato, e poiché il triangolo equilatero ha i lati di uguale lunghezza, il suo perimetro sarà uguale a:

Nono quiz

La risposta corretta è la b.

Decimo quiz

La risposta corretta è la c. In questo caso, per calcolare l’area del triangolo, avendo sia la misura della base, che la misura dell’altezza, è sufficiente applicare la formula tradizionale”, come mostrato nei passaggi seguenti:

Undicesimo quiz

La risposta corretta è la b.

Dodicesimo quiz

La risposta corretta è la a. Ricordo, a quei pochi che lo avessero dimenticato, che esistono dei casi in cui l’altezza relativa ad un lato del triangolo, cade fuori dal perimetro (ovvero cade sul prolungamento della base), come nell’esempio seguente:

Detto questo, per calcolare il rapporto richiesto dal problema, è necessario determinare l’area delle due superfici (quella bianca e quella grigia). L’area della superficie bianca è costituita da 4 triangoli

simili a quello dell’esempio precedente. Questi 4 triangoli (che indico con i numeri 1, 2, 3 e 4) sono collocati all’interno di una griglia di forma quadrata e costituita da 25 tasselli di uguale dimensione e anch’essi di forma quadrata. Supponendo che ciascun tassello abbia il lato di lunghezza 1 metro, potrete determinare la misura della base e dell’altezza di ciascuno dei 4 triangoli e, di conseguenza, misurarne l’area, procedendo nel modo seguente (nel disegno precedente, con b1 ho indicato la base del triangolo numero 1, con h1 l’altezza del triangolo numero 1, con b2 la base del triangolo numero 2, etc.):

1° triangolo.  Base lunga 1 m (perché occupa lo spazio di un tassello), altezza lunga 2 m (perché occupa lo spazio di 2 tasselli), area uguale a base per altezza diviso 2, ovvero:

m2

2° triangolo.  Base lunga 1 m, altezza lunga  2 m, m2

3° triangolo.  Base lunga 1 m, altezza lunga 3 m

(perché occupa lo spazio di 3 tasselli), m2

4° triangolo.  Base lunga 1 m, altezza lunga 3 m, m2

L’area della superficie bianca è uguale alla somma delle aree dei 4 triangoli, ovvero a 1+1+1,5+1,5=5m2.

L’area dell’intera griglia, avendo forma quadrata e lato lungo 5 m (perché occupa lo spazio di 5 tasselli), è pari a 5 m per 5 m, ovvero è uguale a 25 m2 (l’area del quadrato si calcola moltiplicando lato per lato“). La superficie grigia ha unampiezza pari a quella della griglia, meno la superficie bianca, ovvero:

Il rapporto tra l’area bianca e l’area grigia è uguale a:

Tredicesimo quiz

La risposta corretta è la b. La mediana è la semiretta che unisce un vertice del triangolo al punto medio del lato opposto

Il problema lascia intendere che CE e AD sono mediane del triangolo ABC. Questo significa che la mediana CE unisce il vertice C al punto medio del lato AB, ovvero al punto E; allo stesso modo la mediana AD unisce il vertice A al punto medio del lato CB, ovvero al punto D. Concentrate la vostra attenzione in particolare sul triangolo ADC (evidenziato nell’immagine seguente):

considerando CD come base del triangolo, l’altezza ad esso relativa sarebbe il segmento AH. L’area del triangolo ACD, quindi, si potrebbe calcolare in questo modo:

.

Volendo, ora, calcolare l’area del triangolo ABC, considerando CB come base, l’altezza ad esso relativa sarebbe ancora il segmento AH. Dunque

ma CB ha una lunghezza doppia rispetto a CD, ovvero è uguale a CB moltiplicato per 2 (CB=2CD), quindi, sostituendo a CB 2CD”, si ottiene:

Per stabilire quanto vale l’area del triangolo ACD rispetto all’area del triangolo ABC, è sufficiente svolgere il rapporto delle due aree, ovvero:

Dal precedente rapporto si deduce che l’area del triangolo ACD è uguale ad dell’area di ABC.

Si potrebbe adesso calcolare l’area del triangolo COD: considerando OD come base, l’altezza ad esso relativa sarebbe CF e quindi:

Qualcuno, forse (?!?), ricorderà che il baricentro, ovvero il punto di incontro delle mediane di un triangolo, divide ogni mediana in due parti, di cui, quella più lontana dal vertice di lunghezza pari ad un terzo dell’intera mediana. In questo problema il baricentro coincide con il punto O: il segmento OD, quindi, ha una lunghezza pari ad un terzo dell’intera mediana, ovvero:

. Sostituendo questo ultimo dato nella formula relativa all’area del triangolo COD, si otterrebbe:

Penultimo passaggio: è necessario ricalcolare, l’area del triangolo ACD, considerando come base il lato AD. Laltezza relativa ad AD è CF, quindi:

L’area del triangolo COD, rispetto all’area del triangolo ACD, vale:

Ultimo passaggio: dal precedente rapporto si deduce che l’area di COD è pari ad dell’area di ACD, che a sua volta è pari ad dell’area di ABC, ovvero

Quattordicesimo quiz

La risposta corretta è la d. I triangoli rettangoli isosceli corrispondono alla metà di un quadrato: lipotenusa di questi triangoli coincide con la diagonale del quadrato.

Qualcuno ricorderà che esiste una formula che lega la diagonale al lato del quadrato, ovvero:

diagonale = lato per radice di due.

Il problema indica la lunghezza dellipotenusa del triangolo (pari ad 1 m). Sfruttando, quindi, la formula appena richiamata si otterrebbe:

1=lato. Isolando il lato”, ovvero dividendo ambo i membri per radice di 2, si otterrebbe:

Poiché compare una radice al denominatore è opportuno razionalizzarlo, moltiplicando numeratore e denominatore per la radice e procedendo, poi, come illustrato nei passaggi seguenti:

Il lato del quadrato corrisponde ai cateti del triangolo rettangolo isoscele, che per questo motivo misurano anch’essi . L’area del triangolo, quindi, risulta uguale a:

Quindicesimo quiz

La risposta corretta è la c. Affinché i 3 segmenti possano costituire un triangolo rettangolo, devono soddisfare il teorema di Pitagora (ovvero lipotenusa al quadrato è uguale alla somma tra il primo cateto elevato al quadrato ed il secondo cateto elevato al quadrato). L’unica terna che soddisfa questa condizione tra quelle proposte è 3, 4, 5″ perché

52=32+42; 25=9+16; 25=25 (n.b.: ho scelto 5″ come ipotenusa perché lipotenusa è sempre il lato più lungo del triangolo rettangolo).